物料退火算法的專題介紹

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摘要：物料退火算法來源于固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，使用加溫時，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達(dá)到平衡態(tài)，使用退火爐常溫時達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。

物料退火算法來源于固體退火原理，將固體加溫至充分高，再讓其徐徐冷卻，使用加溫時，固體內(nèi)部粒子隨溫升變?yōu)闊o序狀，內(nèi)能增大，而徐徐冷卻時粒子漸趨有序，在每個溫度都達(dá)到平衡態(tài)，使用退火爐常溫時達(dá)到基態(tài)，內(nèi)能減為最小。

根據(jù)Metropolis準(zhǔn)則，粒子在溫度T時趨于平衡的概率為e-ΔE/(kT)，其中e為溫度T時

的內(nèi)能，ΔE為其改變量,k為Boltzmann常數(shù)。用固體退火模擬組合優(yōu)化問題，將內(nèi)能E模擬為目標(biāo)函數(shù)值f,溫度T演化成控制參數(shù)t,即得到解組合優(yōu)化問題的模擬退火算法：由初始解i和控制參數(shù)初值t開始，對當(dāng)前解重復(fù)“產(chǎn)生新解→計算目標(biāo)函數(shù)差→接受或舍棄”的迭代，并逐步衰減t值，算法終止時的當(dāng)前解即為所得近似最優(yōu)解，這是基于蒙特卡羅迭代求解法的一種啟發(fā)式隨機搜索過程。退火過程由冷卻進(jìn)度表(Cooling Schedule)控制，包括控制參數(shù)的初值t及其衰減因子Δt、每個t值時的迭代次數(shù)L和停止條件S。

起源

模擬退火算法起源于物理退火。

􀂄物理退火過程：

⑴ 加溫過程

⑵ 等溫過程

⑶ 冷卻過程

模型建立

模擬退火算法可以分解為解空間、目標(biāo)函數(shù)和初始解三部分。

模擬退火的基本思想：

⑴ 初始化：初始溫度T（充分大），初始解狀態(tài)S（是算法迭代的起點），每個T值的迭代次數(shù)L

⑵ 對k=1,……,L做第⑶至第6步：

⑶ 產(chǎn)生新解S′

⑷ 計算增量Δt′=C(S′）-C(S)，其中C(S)為評價函數(shù)

⑸ 若Δt′<0則接受S′作為新的當(dāng)前解，否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解.

⑹ 如果滿足終止條件則輸出當(dāng)前解作為最優(yōu)解，結(jié)束程序。

終止條件通常取為連續(xù)若干個新解都沒有被接受時終止算法。

⑺ T逐漸減少，且T->0,然后轉(zhuǎn)第2步。

算法步驟

模擬退火算法新解的產(chǎn)生和接受可分為如下四個步驟：

第一步是由一個產(chǎn)生函數(shù)從當(dāng)前解產(chǎn)生一個位于解空間的新解；為便于后續(xù)的計算和接受，減少算法耗時，通常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過簡單地變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對構(gòu)成新解的全部或部分元素進(jìn)行置換、互換等，注意到產(chǎn)生新解的變換方法決定了當(dāng)前新解的鄰域結(jié)構(gòu)，因而對冷卻進(jìn)度表的選取有一定的影響。

第二步是計算與新解所對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因為目標(biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計算最好按增量計算。事實表明，對大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。

第三步是判斷新解是否被接受,判斷的依據(jù)是一個接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropolis接受準(zhǔn)則：若Δt′<0則接受S′作為新的當(dāng)前解S,否則以概率exp(-Δt′/T)接受S′作為新的當(dāng)前解S。

第四步是當(dāng)新解被確定接受時，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對應(yīng)于產(chǎn)生新解時的變換部分予以實現(xiàn)，同時修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時，當(dāng)前解實現(xiàn)了一次迭代。可在此基礎(chǔ)上開始下一輪試驗。而當(dāng)新解被判定為舍棄時，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗。

注意事項

模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)S（是算法迭代的起點）無關(guān)；模擬退火算法具有漸近收斂性，已在理論上被證明是一種以概率l 收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法；模擬退火算法具有并行性。

作為模擬退火算法應(yīng)用，討論旅行商問題(Travelling Salesman Problem,簡記為TSP)：設(shè)有n個城市，用數(shù)碼1,…,n代表。城市i和城市j之間的距離為d(i,j) i,j=1,…,n．TSP問題是要找遍訪每個域市恰好一次的一條回路，且其路徑總長度為最短.。

TSP的模擬退火算法模型可描述如下：

解空間解空間S是遍訪每個城市恰好一次的所有回路，是{1,……,n}的所有循環(huán)排列的集合,S中的成員記為(w1,w2,……,wn)，并記wn+1= w1。初始解可選為(1,……,n)

目標(biāo)函數(shù) 此時的目標(biāo)函數(shù)即為訪問所有城市的路徑總長度或稱為代價函數(shù)：

我們要求此代價函數(shù)的最小值。

新解的產(chǎn)生隨機產(chǎn)生1和n之間的兩相異數(shù)k和m,

若k

(w1,w2,…,wk,wk+1,…,wm,…,wn)

變?yōu)椋?/div>

(w1,w2,…,wm,wm-1,…,wk+1,wk,…,wn).

如果是k>m,則將

(w1,w2,…,wm,wm+1,…,wk,…,wn)

變?yōu)椋?/div>

(wm,wm-1,…,w1,wm+1,…,wk-1,wn,wn-1,…,wk).

上述變換方法可簡單說成是“逆轉(zhuǎn)中間或者逆轉(zhuǎn)兩端”。

也可以采用其他的變換方法，有些變換有獨特的優(yōu)越性，有時也將它們交替使用，得到一種更好方法。

代價函數(shù)差設(shè)將(w1,w2,……,wn)變換為(u1,u2,……,un)，則代價函數(shù)差為：

根據(jù)上述分析，可寫出用模擬退火算法求解TSP問題的偽程序：

Procedure TSPSA:

begin

init-of-T; { T為初始溫度}

S={1,……,n}; {S為初始值}

termination=false;

while termination=false

begin

for i=1 to L do

begin

generate(S′form S); { 從當(dāng)前回路S產(chǎn)生新回路S′}

Δt:=f(S′））-f(S);{f(S)為路徑總長}

IF（Δt<0) OR (EXP(-Δt/T)>Random-of-[0,1])

S=S′；

IF the-halt-condition-is-TRUE THEN

termination=true;

End;

T_lower;

End;

End

模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以較高的效率求解最大截問題(Max Cut Problem)、0-1背包問題(Zero One Knapsack Problem)、圖著色問題(Graph Colouring Problem)、調(diào)度問題(Scheduling Problem)等等。

參數(shù)控制

模擬退火算法的應(yīng)用很廣泛，可以求解NP完全問題，但其參數(shù)難以控制，其主要問題有以下三點：

⑴ 溫度T的初始值設(shè)置問題。

溫度T的初始值設(shè)置是影響模擬退火算法全局搜索性能的重要因素之一、初始溫度高，則搜索到全局最優(yōu)解的可能性大，但因此要花費大量的計算時間；反之，則可節(jié)約計算時間，但全局搜索性能可能受到影響。實際應(yīng)用過程中，初始溫度一般需要依據(jù)實驗結(jié)果進(jìn)行若干次調(diào)整。

⑵ 退火速度問題。

模擬退火算法的全局搜索性能也與退火速度密切相關(guān)。一般來說，同一溫度下的“充分”搜索（退火）是相當(dāng)必要的，但這需要計算時間。實際應(yīng)用中，要針對具體問題的性質(zhì)和特征設(shè)置合理的退火平衡條件。

⑶ 溫度管理問題。

溫度管理問題也是模擬退火算法難以處理的問題之一。實際應(yīng)用中，由于必須考慮計算復(fù)雜度的切實可行性等問題，常采用如下所示的降溫方式：

T(t+1)=k×T(t)

式中k為正的略小于1.00的常數(shù),t為降溫的次數(shù)

優(yōu)缺點及改良方式

優(yōu)點：計算過程簡單，通用，魯棒性強，適用于并行處理，可用于求解復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題。

缺點：收斂速度慢，執(zhí)行時間長，算法性能與初始值有關(guān)及參數(shù)敏感等缺點。

經(jīng)典模擬退火算法的缺點：

⑴如果降溫過程足夠緩慢，多得到的解的性能會比較好，但與此相對的是收斂速度太慢；

⑵如果降溫過程過快，很可能得不到全局最優(yōu)解。